Algoritma DDA Elips

  Algoritma Pembentukan Elips

Elips merupakan modifikasi dari bentuk lingkaran, dengan memasukkan mayor dan minor axis pada prosedur lingkaran. Elips ditentukan oleh satu set titik dengan memperhitungkan jumlah jarak kedua posisi (foci). Bila jarak kedua foci dari sembarang titik (p,y) pada elips diberi label d1 dan d2, maka persamaan elips menjadi

d1+d2=konstan

Untuk menggambarkan jarak d1 dan d2 dengan ketentuan koordinat masing masing 

F1(x1,y1) dan F2(X2,Y2)

√((x­x1)2+(y­y1)2)2+√((x­x2)2+(y­y2)2=konstan

Dimana mayor dan minor  axis elips dalam posisi parallel dengan sumbu x dan sumbu y pada contoh ini, parameter rx disebut semi major axis dan ry disebut semi minor axis, sehingga persamaan elips dengan parameter rx dan ry menjadi

((x­rc)/rx)2 + ((y­yc)/ry)2=1

Algoritma elips Midpoint 

Untuk algoritma pembentukan elips, pendekatan yang dilakukan sama dengan 

penggunaan pada saat menampilkan lingkaran. Dengan parameter untuk elips pada posisi 

standar, yaitu rx, ry, dan(xc,yc). Bila elips ditampilkan pada posisi standar, maka dapat 

dilakukan dengan memutar elips tersebut menurun koordinat titik pusat, dan 

mendapatkan kembali mayor dan minor axis.

Metode midpoint untuk elips dijalankan pada kuadran pertama dalam dua bagian. 

Bagian pertama menrut kemiringan elips rx<ry. Penambahan dengan unit step pada arah 

sumbu x dilakukan bila slope lebih kecil dari 1, dan dengan unit step menurut sumbu y 

bila kemiringan lebih besar dari 1.

Bagian 1 dan 2 dapat digunakan untuk bermacam macam cara. Pertama dimulai 

dari posisi (0,ry) dan step searah jarum jam sepanjang jalur elips pada kuadran pertama. 

Pergeseran dengan unit step dalam x pada saat slope lebih besar dari 1.

Alternatif lain, dimulai dari (rx,0) dan seleksi titik dalam arah berlawanan dengan 

arah jarum jam. Penggeseran unit step y ke unit step x pada saat kemiringan lebih besar 

dari ­1. dengan prosesor pararel, posisi pixel dapat dihitung dalam dua bagian sekaligus

Pembentukan elips menurut algoritma Circle midpoint sebagai berikut:

1)      Tentukan rx,ry dan pusat elips (xc,yc) kemudian diperoleh 

(xo,yo)=(0,ry)

2)      Hitung nilai parameter 

P1₀= r_y² –r_x r_y² + ¼ r_x²

3)      Tentukan nilai awal k=0, untuk setiap posisi xk berlaku sebagai berikut :

·         Bila p1k< 0 maka titik selanjutnya adalah (xk+1, yk)

p1_k+1=p1_k+2r_y² X_k+1+r_y²

·         Bila tidak, maka titik selanjutnya adalah (xk+!,yk­1) dan

p1_k+1=p1_k+2r_y² X_k+1­2r_x y_k+1+r_y²

dengan 

2r_y²x_k+1=2r_y²x_k +2r_y²

Dan 2r_x y_k+1=2r_x² y_k +2r_x²

Teruskan sampai 

2r_y²x >= 2r_x² y

4)      Tentukan nilai parameter pada bagian kedua menggunakan titik terakhir (x0,y0) yang  telah dihitung pada bagian pertama, sebagai berikut

P²_k+1=2r_y² (x_o+1/2)²+2r_x² (y_o­1)²­ r_x² r_y²

5)      Setiap posisi yk pada bagian kedua, dimulai dengan k=0

·         Bila p2k> 0 maka titik selanjutnya adalah (xk, yk­1)

p2_k+1=p2_k+2r_x²y_k+1+r_x²

·         Bila tidak, maka titik selanjutnya adalah (xk+1,yk­1) dan

p2_k+1=pk+2r_y²x_k+1­2r_x y_k+1+r_y²

6)      Tentukan titik simetris pada ketiga kuadran lainnya

7)      Gerakkan setiap posisi(x,y) pada garis melingkar dari elisp dengan titik pusat(xc,yc) dan  tentukan nilai koordinat 

x=x+xc  y=y+yc

8)      Ulangi langkah untuk bagian pertama di atas, sehingga 2r_y²x >= 2r_x² y

Contoh algoritma elips Midpoint 

Untuk menggambarkan algoritma midpoint dalam pembentukan elips dengan titik 

pusat(0,0) dan mayor axis rx=6, serta minor axis ry=8, perhitungan berdasarkan pada 

kuadran pertama sebagai berikut:, nilai parameter dapat ditentukan 

2r_y²x=0

2r_y²x=2r_x² ry

p1o= r_y²  + r_x² r_y ­1/4 r_x²

=­ 215

Koordinat titik awal (x,r) =(0,8)

Prosedur algoritma elips Midpoint

Prosedur berikut menampilkan posisi pixel pada monitor dengan algorima 

Midpoint. Input yang digunakan adalah koordinat titik pusat mayor axis, dan minor axis. 

Posisi pixel ditentukan dengan rutin setPixel.

uses graph,crt;

{tambahkan pada bagian ini prosedur penginisialisasian device, lihat pada bab 1}

procedure elipsPlotPoints(xCenter,yCenter,x,y:integer);

begin

putPixel(xCenter+x, yCenter+y,30);

putPixel(xCenter-x, yCenter+y,30);

putPixel(xCenter+x, yCenter-y,30);

putPixel(xCenter-x, yCenter-y,30);

end;

procedure elipsMidPoint(xCenter,yCenter,Rx, Ry:integer);

var

Rx2,Ry2,x,y,twoRx2,twoRy2,py,px,p:integer;

begin

Rx2:=Rx*Rx;

Ry2:=Ry*Ry;

x:=0;

y:=Ry;

twoRx2:=2*Rx2;

twoRy2:=2*Ry2;

px:=0;

py:=twoRx2*y;

elipsPlotPoints(xCenter,yCenter,x,y);

//bagian1

p:=round(Ry2-(Rx2*Ry)+(0.25*Rx2));

while px<py do

begin

x:=x+1;

px:=px+twoRy2;

if p<0 then

p:= p+(Ry2+px)

else

begin

y:=y-1;

py:=py-twoRx2;

p:=p+(Ry2+px-py);

end;

elipsPlotPoints(xCenter,yCenter,x,y);

end;

//bagian 2

p:=round(Ry2*(x+0.5) *(x+0.5)+Rx2*(y-1) *(y-1)-Rx2*Ry2);

while y>0 do

begin

y:=y-1;

py:=py-twoRx2;

if p>0 then

p:=p+(Rx2-py)

else

begin

x:=x+1;

px:=px+twoRy2;

p:=p+Ry2+px-py;

end;

elipsPlotPoints(xCenter,yCenter,x,y);

end;

end;

begin

    init;

    elipsMidPoint(130,120,120,190);

    readkey;

    destroy;

end.

5.      Fill area primitive

Terdapat dua dasar pendekatan untuk mengisi area pada raster system. Pertama, 

menentukan overlap internal untuk scan line yang melintasi area. Metode lain yaitu 

dengan memulai dari titik tertentu pada posisi di dalam polygon dan menggambar 

dengan arah menyebar ke pinggir, sampai batas polygon.

1)      Algoritma  scan line 

Titik potong diurutkan dari kiri ke kanan. Posisi yang berhubungan pada 

frame buffer antara sepasang titik potong diberi warna tertentu. Posisi empat 

pixel sebagai titik potong antara garis batas polygon ditentukan oleh dua buah 

pixel pada koordinat darri x=8 ke x=13  dan dari x=23 ke x=34

2)    Algoritma boundary fill. 

Metode ini bermanfaat untuk paket aplikasi grafik interaktif dimana titik 

dalam dapat dengan mudah ditentukan. Prosedur boundary fill menerima inout 

koordinat suatu titik(x,y), warna isi dan garis batas. Dimulai dari titik (x,y), 

prosedur memeriksa posisi titik tetangga, yaitu apakah merupakan warna batas. 

Bila tidak, maka titik tersebut digambar dengan warna isi. Proses ini dilanjutkan

sampai semua titik pada batas diperiksa. Prosedur berikut menampilkan metode

rekursif mengisi 4 bidang dengan intensitas pada parameter fill.

procedure  boundaryFil( x,y,fill,boundary:integer);

var

current:integer;

begin

current:= getPixel(x,y);

if (current <> boundary) and (current <> fill) then

begin

putPixel(x,y,fill);

boundaryFill(x+1,y,fill,boundary);

boundaryFill(x-1,y,fill,boundary);

boundaryFill(x,y+1,fill,boundary);

boundaryFill(x,y-1,fill,boundary);

end;

end;

3)    Algoritma flood fill

Pendekatan lain untuk mengisi suatu bidang polygon adalah algorima 

flood fill. Metode ini dimulai pada titik (x,y) dan mendefinisikan seluruh pixel 

pada bidang tersebut dengan warna yang sama. Bila bidang yang akan diisi 

warna memiliki beberapa warna. Pertama tama yang dibuata adalah membuat 

nilai pixel baru, sehingga smua pixel memiliki warna yang sama.  Prosedur 

berikut menggambarkan metode flood­fill untuk mengisi warna suatu polygon.

procedure floodFill( x,y,fillColor,oldColor:integer);

begin

if getPixel(x,y) = oldcolor then

begin

putPixel(x,y,fillcolor);

floodFill(x+1,y , fillColor, oldColor);

floodFill(x-1,y , fillColor, oldColor);

floodFill(x,y+1 , fillColor, oldColor);

floodFill(x,y-1 , fillColor, oldColor);

end;

end;

Algoritma DDA ( Lingkaran )

LINGKARAN BRESENHAM

Algoritma lingkaran bresenham memerlukan menggambar pada octant yang pertama saja sedangkan titik-titik pada kuadran lain dapat diperoleh pada pencerminan titik-titik pada oktan pertama.

Pembuatan suatu lingkaran merupakan salah satu primitive yang berperan dalam grafika komputer. Prinsip yang dipakai pada penelitian ini dalam pembuatan lingkaran adalah menterjemahkan dari bahasa matematika ke dalam bahasa pemrograman untuk metode Bezier dan algoritma Bresenham. Untuk program-program terapan sederhana, lingkaran yang diperoleh dari bentuk dasar kurva cukup memadai, tetapi seringkali diinginginkan bentuk lingkaran yang jauh lebih rumit dan tidak teratur. Bentuk fungsi matematis yang paling utama untuk menggambar kurva sebagai dasar pembuatan bentuk lingkaran adalah fungsi parametrik atau vector-valued function yaitu untuk sembarang titik pada suatu permukaan, lokasinya ditentukan oleh dua buah parameter u dan v biasanya bernilai antara 0 dan 1, dan fungsi parametrik x,y, dan z merupakan lokasi-lokasi titik pada kurva atau permukaan. Algoritma de Casteljau [2] merupakan algoritma untuk membuat kurva menggunakan sejumlah titik kontrol, dan menggunakan teknik in-betweening untuk mendapatkan kurva yang diinginkan. Algoritma ini dikembangkan oleh P. de Casteljau, dan merupakan cikal bakal kurva Bezier, yang secara terpisah dikembangkan lebih lanjut oleh P. Bezier. Algoritma de Casteljau untuk membuat kurva Bezier cukup ampuh secara algoritmik, tetapi tidak secara eksplisit menyatakan bentuk fungsionalnya. Karena alasan ini, kemudian dikembangkan persamaan lain untuk membuat kurva Bezier, yang sangat berguna untuk tujuan analisis.

Algoritma Bresenham dipilih karena merupakan metode dasar grafis yang sangat populer dan terkenal efisiensinya, Bresenham memakai dasar integer arithmetic yang jauh lebih cepat daripada floating-point arithmetic yang biasa dipakai dan menggunakan suatu persamaan matematis untuk mengetahui adanya baris atau kolom baru yang akan dibuat dalam proses pembuatan suatu garis. Tetapi Bresenham juga memiliki kekurangan yaitu timbulnya error jika dua segmen garis yang overlap dibuat, error juga akan timbul jika sebuah segmen garis yang intensitasnya berbeda overlap terhadap suatu segment garis yang sudah ada.

Algoritma Bresenham menggunakan aritmatika integer yang tidak memerlukan perkalian dan pembagian dalam proses perhitungannya didalam seluruh implementasi, yang mana aritmatika integer ini memiliki kecepatan perhitungan yang lebih tinggi daripada aritmatika floating point. Algoritma Bresenham memberikan persamaan umum untuk lingkaran sebagai berikut:

(X – a)2 + (Y – b)2 = R2

Dengan (Xa,Ya) sebagai koordinat awal dan (Zt,Yt) sebagai koordinator akhir. Persamaan umum lingkaran yang diberikan oleh Algoritma Bresenham di atas diturunkan dari persamaan umum lingkaran :

X2 + Y2 = R2

Keterangan:

X = absis ³ 0

Y = ordinat ³ 0

R = bilangan integer ³ 1.

Pada algoritma pembuatan lingkaran dengan arah penggambaran searah jarum arah jarum jam untuk lintasan yang besarnya seperempat lingkaran atau 90˚ memiliki tiga titik perhitungan yaitu m1, m2, dan m3.

Gambar 6. Flowchart Procedure

Bresenham

Fungsi procedure dibawah ini sebagai algoritma utama Bresenham untuk menggambar lingkaran.

begin

x:=0;

y:=100;

xCenter:=150;

yCenter:=150;

plotpoints;

p:=1-y;

while x <>

begin

if p<0>

x:=x+1

else

begin

x:=x+1;

y:=y-1;

end;

if p<0>

p:=p+2*x+1;

else

p:=p+2*(x-y)+1;

plotpoints

end;

end;

Menggambar sebuah lingkaran dengan menggunakan delphi7

Tampilan

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls;

type

TForm1 = class(TForm)

Panel1: TPanel;

Label1: TLabel;

Edit1: TEdit;

Button1: TButton;

CheckBox1: TCheckBox;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure FormMouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

procedure FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

procedure FormMouseUp(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

private

{ Private declarations }

findrawing:boolean;

fjari,xcenter, ycenter:integer;

procedure GambarLingkaran(r:integer);

procedure GambarTitik(xi, yi:integer);

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.GambarTitik(xi,yi:integer);

var

x,y:Integer;

begin

x:=xcenter+xi;

y:=ycenter-yi;

canvas.pixels[x,y]:=clBlack;

//Deklarasi untuk view all

if checkbox1.checked then

begin

x:=xcenter-xi;

y:=ycenter-yi;

canvas.pixels[x,y]:=clBlack;

x:=xcenter-xi;

y:=ycenter+yi;

canvas.pixels[x,y]:=clBlack;

x:=xcenter+xi;

y:=ycenter+yi;

canvas.pixels[x,y]:=clBlack;

end;

end;

procedure TForm1.GambarLingkaran(r:integer);

var

d1, d2:Real;

xi, yi:integer;

mh, md, mv:integer;

begin

xi:=0;

yi:=R;

while yi > 0 do

begin

GambarTitik(xi, yi);

md:=abs(sqr(xi+1)+sqr(yi-1)-sqr(r));

mh:=abs(sqr(xi+1)+sqr(yi)-sqr(r));

mv:=abs(sqr(xi)+sqr(yi-1)-sqr(r));

d1:=sqr(xi+1)+sqr(yi-1)-sqr(r);

if d1<0>

begin

d2:=mh-md;

if d2<=0 then

begin

xi:=xi+1;

yi:=yi;

end

else

begin

xi:=xi+1;

yi:=yi-1;

end;

end

else if d1>0 then

begin

d2:=mv-md;

if d2<=0 then

begin

xi:=xi;

yi:=yi-1;

end

else

begin

xi:=xi+1;

yi:=yi-1;

end;

end

else if d1=0 then

begin

xi:=xi+1;

yi:=yi-1;

end;

end;

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

TRY

Canvas.FillRect(Rect(0, Panel1.Height,Width,Height));

xcenter:=width div 2;

ycenter:=height div 2;

GambarLingkaran(strtoint(edit1.Text));

EXCEPT

ShowMessage('ISI!');

end;

end;

procedure TForm1.FormMouseDown(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

begin

xcenter:=x;

ycenter:=y;

findrawing:=true;

CheckBox1.Checked:=true;

//tentukan jari2 pertama sama dengan 10

fjari:=10;

//gunakan modus pen pmnotxor

Canvas.Pen.Mode:=pmNotXor;

//gambar lingkaran pertama

GambarLingkaran(fjari);

end;

procedure TForm1.FormMouseMove(Sender: TObject; Shift: TShiftState; X,

Y: Integer);

var

dx,dy:integer;

begin

if findrawing then

begin

//hapus lingkaran sebelumnya

GambarLingkaran(fjari);

//hitung jari2 yang baru

dx:=abs(xcenter-x);

dy:=abs(ycenter-y);

if dx>dy then fjari:=dx else fjari:=dy;

//gambar lingkaran yang baru

GambarLingkaran(fjari);

end;

end;

procedure TForm1.FormMouseUp(Sender: TObject; Button: TMouseButton;

Shift: TShiftState; X, Y: Integer);

var

dx,dy:integer;

begin

//hapus lingkaran sebelumnya

GambarLingkaran(fjari);

//selesai menggambar

findrawing:=false;

//ubah modus ke pmcopy

Canvas.Pen.Mode:=pmCopy;

//hitung jari2 yang baru

dx:=abs(xcenter-x);

dy:=abs(ycenter-y);

if dx>dy then fjari:=dx else fjari:=dy;

//gambar lingkaran terakhir

GambarLingkaran(fjari);

end;

end.